Los matemáticos de la RUDN han obtenido una evaluación de los problemas diferenciales inversos de Laplace que permite describir la forma de espacio de la investigació

Los matemáticos de la RUDN han obtenido una evaluación de los problemas diferenciales inversos de Laplace que permite describir la forma de espacio de la investigació

Los matemáticos de la RUDN obtuvieron la evaluación de la solución de problemas inversos de la ecuación diferencial de Laplace. Comprendiendo un conjunto de valores que caracterizan la transformación de Laplace y parámetros límite de Dirichlet-Neumann, ellos lograron obtener condiciones que definen la forma de espacio investigado. El resultado conseguido permite describir el carácter de espacio físico en los problemas de electrostática, electrodinámica, mecánica cuántica, física de medios continuos y en el problema de investigación de la termoconductivodad de ambiente. 

En solución de los problemas físicos por los métodos matemáticos, las funciones cumplen con los procesos físicos específicos. Por ejemplo, para la descripción de proceso de la termoconductividad es necesario usar la ecuación diferencial de Laplace, la llamada transformación de Laplace. Estas funciones actúan dentro de un espacio característico determinado que corresponde a un modelo físico del caso estudiado.

Los datos experimentales del problema físico pueden presentar un conjunto de valores que caracterizan el tipo de transformación de Laplace para un espacio determinado. Los problemas directos de la ecuación diferencial permiten obtener este conjunto de valores característicos con el conocido tipo matemático de la transformación de Laplace. Al mismo tiempo, la solución de problemas inversos de estas ecuaciones con el conjunto conocido de valores determinados permite investigar la forma matemática de espacio y, por tanto, permite investigar el proceso físico del problema que está siendo investigado.

Un espacio es caracterizado por su métrica, es decir, por la regla de difusión de los elementos en este espacio. Conociendo el tipo matemático de la métrica de espacio, se puede obtener la estructura de espacio de un modelo físico del problema investigado. De este modo, analizando los datos de la actividad neuronal (valores característicos), se puede obtener una métrica de espacio de la red neuronal que estará siendo asociada con el modelo físico de esta red.

Es conocido que el tipo de métrica puede ser determinado con la precisión hasta el nivel en el que las dos métricas (la g1 y la g2), con el conjunto de valores característicos poco diferentes, se hacen iguales. Por consiguiente, esta no será la única solución. Además, en el caso de la existencia de dos métricas con el conjunto de valores característicos iguales está permitido una transformación que trasponga una métrica a la otra.

Para una descripción correcta de la forma de espacio investigado, es necesario verificar la justificación de tipo de métrica elegido en la solución de problema directo de ecuaciones diferenciales. Para esta verificación, como herramienta, puede servir la investigación de unicidad de la solución de problemas inversos en el campo de espacio libremente limitado.

Al estudiar el conjunto dado de valores característicos en el espacio libremente fijado, los autores obtuvieron un valor matemático de la unicidad de solución para el problema inverso en la definición de la métrica del operador de Laplace.

Como el otro tipo de datos de entrada para el problema inverso pueden servir las condiciones de frontera en las cuales el comportamiento de modelo físico es conocido. En este caso, para la evaluación de la unicidad de solución del problema inverso los autores utilizaron datos sobre las condiciones de frontera de Dirichlet-Neumann para la transformación de Laplace en la superficie arbitraria del espacio que se está investigando.

El artículo fue publicado en la revista Inverse Problems & Imaging.

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